Obiettivo principale del presente progetto di ricerca è lo studio di esistenza, molteplicità e proprietà qualitative di soluzioni di una certa classe di equazioni differenziali alle derivate parziali (EDP) ellittiche non lineari con condizioni al bordo.
La peculiarità delle equazioni considerate è la presenza di un termine Hamiltoniano che, da un lato, presenta una crescita quadratica (nota in letteratura come crescita naturale) rispetto al gradiente della soluzione e, dall'altro, è singolare rispetto alla soluzione stessa.
Tale termine rappresenta al tempo stesso un'ostruzione all'esistenza di soluzioni e, sorprendentemente, anche garantisce un effetto regolarizzante nel caso di dati del problema molto irregolari.
Ci si propone di considerare condizioni al contorno di Dirichlet sia omogenee che esplosive; in quest'ultimo caso si trattano problemi la cui soluzione diverge all'infinito sulla frontiera del dominio, note in letteratura come Large Solutions (LS).
Il corpus di risultati qui riassunti negli articoli [BBM][BMP] e [BGO] delle precedenti sessioni rappresenta un bagaglio ormai considerato classico per tutta una classe di EDP con termine a crescita naturale rispetto al gradiente.
L'innovatività di questa ricerca consiste nell'introdurre strategie e tecniche nuove per lo studio di questi problemi analizzandone sfaccettature fin'ora rimaste in ombra. Per esempio i lavori [A3][AM] dimostrano che la presenza di un termine gradiente singolare influenza in maniera sostanziale il diagramma di biforcazione relativo a soluzioni limitate. Allo stesso modo [LP1][LP2][LP3] mettono in luce la possibilità de utilizzare stime alla Bernstein per ottenere informazioni sul comportamento asintotico di LS.
La collaborazioni con ricercatori di alto livello all'interno degli ambiti di ricerca entro i quali ci muoviamo ed i risultati preliminari fin'ora ottenuti ci sembrano la migliore garanzia per la riuscita di tale progetto.