Il progetto di ricerca si prefigge lo scopo di studiare alcuni problemi relativi alle teorie cinetiche e in generale alla meccanica statistica fuori dall'equilibrio. In particolare si vuole affrontare lo studio dei comportamenti collettivi di agenti e del comportamento asintotico di dinamiche stocastiche di particelle o di spin eventualmente in un mezzo aleatorio.
Gli argomenti affrontati sono collegati a problemi della fisica, della biologia e dell'intelligenza artificiale, e verranno trattati utilizzando strumenti provenienti da diversi ambiti, tra cui la teoria del trasporto ottimo, il calcolo delle variazioni, la teoria della probabilità e la teoria geometrica della misura.
L'innovatività dei temi di ricerca presentati consiste essenzialmente nel cercare nuovi approcci, tecnici e concettuali, alla risoluzione dei problemi in questione. Di seguito, in dettaglio, i principali aspetti innovativi e le prospettive di progresso.
A.1. Sulla base dell'osservazione del comportamento di stormi di uccelli, effettuata con apparati sperimentali e tecniche d'avanguardia, recentemente è stato proposto un modello di agenti che introduce un nuovo grado di libertà, la curvatura della traiettoria [Cav]. Nell'ambito di questo progetto si vogliono considerare il limite cinetico e idrocinetico per questo modello. In questo modo si auspica di confermare alcune delle previsioni fatte in [Cav] e di ottenere un modello macroscopico con soluzioni non banali.
Riguardo le grandi deviazioni, si vuole affrontarne lo studio per un modello paradigmatico di particelle con velocità a valori continui, in assenza di una struttura spaziale, in cui l'interazione prevede la conservazione dell'impulso (modello tipo Kac). Si vuole inoltre
analizzare la connessione tra formulazione mediante flusso gradiente di equazioni cinetiche e grandi deviazioni.
A.2. Ci proponiamo di considerare il caso in cui il sistema gas + corpo si trovi racchiuso in un dominio limitato, ad esempio una scatola, e l'interazione tra il corpo ed il gas è governato da un'interazione di tipo diffusivo tra le le particelle del gas e il corso e la scatola.
A.3. Ci si propone di caratterizzare la struttura delle soluzioni dei problemi di controllo ottimo quantistico. In particolare si vuole arrivare ad una definizione del problema duale (problema di Kantorovich nel caso classico) e del teorema di rappresentazione di Brenier [Br]. Inoltre si vuole considerare il caso in cui gli operatori densità siano di rango finito (analogo quantistico del problema dell'assegnamento ottimo).
B.1. Ci si propone di analizzare la dinamica di Ising a temperatura zero discutendo in particolare la formulazione "a-la Brakke" dell'evoluzione limite (descritta invece classicamente in [Sp, LST]). Da un punto di vista metodologico si vogliono introdurre nel contesto delle dinamiche di spin gli strumenti della teoria geometrica della misura combinati con stime di grandi deviazioni, che consentirebbero di trattare interfacce non regolari e non convesse.
B.2. Si vuole caratterizzare la legge di Mott dando una formulazione percolativa del prefattore. A tal fine, tramite metodi di omogenizzazione, occore innanzitutto dimostrare la convergenza della conduttivita' (DC) alla matrice di diffusione della passeggiata aleatoria di Mott nel limite di volume infinito.
C.1. Considereremo un modello di memoria associativa, recentemente introdotto [FAB] e in grado di lavorare al carico massimo raggiungibile da questa classe di reti, e ne studieremo l'algoritmo di apprendimento corrispondente. Lo scopo è quello di ottenere una macchina più robusta rispetto a difetti di sovradattamento. L'indagine rigorosa è possibile mediante un'opportuna generalizzazione di alcune tecniche della meccanica statistica dei sistemi disordinati (e.g., stabilità stocastica, campi di cavità) [ABT].
C.2. Per analizzare le serie temporali ed evidenziare le informazioni significative si prevede l'estrazione del trend e la stima della componente periodica attraverso il filtraggio del rumore con metodi di regressione non parametrica, quali decomposizioni multiscala wavelets, empirical mode decomposition. Le serie multivariate ottenute da misure simultanee consentono di evidenziare legami di causalità, interazione, ritardo temporale. Tecniche di machine learning (reti neurali, clustering, random forest) possono essere usate per la predizione e la classificazione.