Il progetto di ricerca del gruppo si sviluppa nell'ambito della teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali e delle sue applicazioni alla fisica teorica, all'ingegneria e alla scienza dei materiali.
Più in dettaglio il gruppo di ricerca, composto da quattro docenti strutturati Sapienza (Crasta, Fanelli, Malusa, Nesi), intende affrontare le seguenti tematiche:
1. Campi vettoriali con bassa regolarità
2. Proprietà spettrali di Hamiltoniane non autoaggiunte
3. Sasa-Satsuma e la stabilità non lineare di solitoni peculiari
4. Equazioni ellittiche per l'1-Laplaciano con termine forzante misura
5. Evoluzione di cristalli
I metodi utilizzati richiedono competenze di alto livello sia relativamente alle tecniche dell'analisi di equazioni differenziali alle derivate parziali lineari e non lineari, sia relativamente ai moderni sviluppi dell'analisi reale, dell'analisi armonica nonlineare e della geometria differenziale.
Il PI e gli altri membri del progetto sono altamente qualificati per il raggiungimento degli obiettivi proposti, come dimostrato dal loro curriculum.
Tutti i temi proposti sono di grande attualità e sono oggetto di studio di numerosi gruppi di ricerca a livello internazionale.
Per questo motivo riteniamo che ogni progresso ottenuto in ciascuno dei temi proposti sarà accolto con grande interesse dalla comunità scientifica e darà luogo a pubblicazioni su riviste a elevato impatto.
Entrando più nel dettaglio:
- Per affrontare i problemi proposti nel tema 1 sarà necessario sviluppare nuovi metodi per l'analisi dei campi vettoriali a divergenza misura, che sono di grande importanza di per sé anche a prescindere dalle applicazioni alle leggi di conservazione e ai flussi di Cauchy.
- Sugli argomenti del tema 2 il gruppo di ricerca ha una consolidata esperienza. La fattibillità è alta e si prevede di ottenere risultati rilevanti nell'arco del prossimo anno solare.
- Sul tema 3 gli unici risultati parziali esistenti in letteratura sono contenuti in un lavoro in corso [AFM]. Questi risultati ci inducono a pensare che sviluppi interessanti possano essere prodotti nell'arco del prossimo anno solare.
- Tema 4: per estendere i risultati noti, contenuti in [MSL2], validi per termini forzanti diffusi, al caso generale di misure assolutamente continue rispetto alla misura di Hausdorff (n-1)-dimensionale, sembrerebbe necessario approfondire diversi aspetti della teoria del potenziale in BV, delle proprietà fini delle funzioni a variazione limitata, del pairing di Anzellotti e della teoria delle soluzioni rinormalizzate di equazioni ellittiche. Ognuno di questi aspetti è di sicuro interesse di per sé, a prescindere dalle sue applicazioni in questo contesto.
- Per il tema 5, si sta proponendo un nuovo modo di combinare tra loro questioni relative a evoluzioni geometriche, equazioni differenziali a secondo membro discontinuo e problemi di omogeneizzazione. Le tecniche che ne derivano sembrerebbero avere un buon margine di applicazione anche in problemi di natura diversa.