Ci si propone di proseguire ed intensificare lo studio in alcune aree tematiche in cui i partecipanti hanno già una esperienza consolidata, da un lato di rafforzando le interazioni tra i membri del progetto e i vari collaboratori esterni e dall'altro avviando alla ricerca dei giovani studiosi.
Il progetto si articola nelle seguenti aree:
A) Pairing di Anzellotti: estensioni ed applicazioni
B) Flussi 1-armonici
C) Equazioni e sistemi ellittici e parabolici singolari
D) Comportamento asintotico per operatori legati al p-Laplaciano al divergere di p.
Il pairing di Anzellotti è uno strumento astratto che generalizza il prodotto scalare tra un campo vettoriale e un gradiente di una funzione regolare allo spazio BV delle funzioni a variazione limitata. Il suo approfondimento e lo studio di sue diverse estensioni è previsto nel punto A).
Tale strumento si è rivelato essenziale nel definire l'operatore 1-Laplaciano di cui al punti B) e C).
Il flusso 1-armonico è studiato nel contesto del trattamento di immagini e questo modello ha un forte interesse di per sé, come paradigma per flussi gradiente vincolati in spazi BV delle funzioni a variazione limitata.
Ai fini del progetto, i punti A), B) e C) sono strettamente connessi dall'obiettivo di studiare problemi per operatori derivanti da lagrangiane a crescita 1.
D'altra parte, lo studio di equazioni e sistemi stazionari ed evolutivi con termini di ordine inferiore che siano singolari rispetto alla incognita u di cui al punto C) trovano applicazioni in molteplici ambiti. Si sono studiati sia i casi con l'operatore p-Laplaciano, p>1, che l'1-Laplaciano ottenuto per p che tende a 1. Si intende considerare anche il caso per p che tende ad infinito nel punto D).
Molte di queste tematiche, presentano rilevanti punti di contatto sia nella formulazione stessa dei problemi che nell'approccio metodologico. L'interazione delle competenze dei diversi membri del progetto permetterà di sviluppare i punti comuni.
A) Pairing di Anzellotti: estensioni ed applicazioni
Obiettivo di questo studio è sia indagare la rappresentazione esplicita del pairing per mezzo di rappresentanti precisi, sia proseguire nell'estendere alcuni risultati noti sul pairing in vista di nuove applicazioni in vari ambiti. Descriviamo in dettaglio alcuni obiettivi.
A1) Si vorrebbe dare una descrizione della parte di Cantor della misura pairing sia in termini delle medie cilindriche (estendendo quindi i risultati contenuti in [a2]), sia in termini delle tracce distribuzionali del campo A.
A2) Si intende indagare le proprietà tangenziali della misura pairing, andando a descrivere il blow-up della misura stessa, ottenendo un analogo del teorema di De Giorgi sulla rettificabilità della frontiera ridotta.
A3) Si intende studiare la semicontinuità inferiore del funzionale pairing rispetto alla convergenza L^1 per poi darne una caratterizzazione in termini del rilassato a BV di un funzionale definito sulle funzioni regolari.
B) Flussi 1-armonici
L'obiettivo di lungo termine è l'elaborazione di una teoria generale di buona positura per flussi 1-armonici. Un obiettivo intermedio raggiungibile nell'ambito della presente proposta è quello di risolvere il caso in cui la varietà di arrivo N è generica, ma il dominio è unidimensionale. Insieme a Salvador Moll (U. Valencia) e Michal Lasica (U. Warsaw) ci proponiamo di raggiungere questo obiettivo combinando metodi di energia e tecniche variazionali (elaborati sia in questo che in ambiti connessi, come quello delle equazioni a flusso saturato [LG-Moll-Petitta-2018, LG-2015]) con scelte attente di sistemi di coordinate intrinseci. Un risultato di buona positura di questo tipo costituirebbe uno step decisivo per poi affrontare il caso generale.
C) Equazioni e sistemi ellittici e parabolici singolari
Ci proponiamo lo studio di esistenza, unicità e regolarità di soluzioni per problemi ellittici guidati da operatori di diffusione di tipo p-laplaciano (1
Si intende usare metodi basati sull¿uso di convenienti problemi approssimanti non singolari e di opportune funzioni test al fine di ottenere stime uniformi sulle soluzioni di tali problemi approssimanti. Si ritiene che ciò possa consentire di affrontare i problemi descritti in C2) e C3), C5) per i quali non sono ancora noti risultati e quelli relativi al punto C1), per i quali esistono risultati solo parziali. Per quel che riguarda il punto C4) si ritiene che gli strumenti di cui sopra debbano essere affinati per essere adattati al nuovo contesto.
D) Comportamento asintotico per operatori legati al p-Laplaciano al divergere di p
D1) Per quanto riguarda le large solutions, ci si propone di studiarne l'esistenza e il comportamento vicino la frontiera: tali risultati hanno a che vedere la geometria del dominio nel quale si studia l'equazione. In questa direzione non c'è letteratura conosciuta, a parte [d2].
D2) Per quanto riguarda il problema variazionale si vuole studiare l'esistenza di soluzioni dell'equazione limite e la molteplicità di soluzioni. Una parte fondamentale sarà dedicata alla caratterizzazione della soluzione come funzione valore associata ad un gioco differenziale a somma zero a due giocatori (appoggiandosi sui risultati contenuti in [d3]).
[d2] J. Garcìa-Meliàn, J. Rossi, J. Sabina de Lis, Calc. Var. Partial Differential Equations 2008
[d3] P. Blanc, J. Rossi Probability theory. Game Theory and Partial Differential Equations 2019