Il presente progetto si concentra sullo studio di equazioni differenziali non lineari di tipo ellittico e parabolico che rivelano allo stesso tempo una struttura nuova e stimolante e una solida connessione con i modelli in fisica e ingegneria. Le principali linee di ricerca possono sinteticamente riassumersi come segue:
A) Equazioni Ellittiche e paraboliche singolari o degeneri
B) Equazioni di diffusione con saturazione del flusso
C) Equazioni nonlocali e laplaciano frazionario
D) Pairing e funzioni BV
Il nostro obiettivo è di contribuire su questioni specifiche di rilevanza per le applicazioni e allo stesso tempo di innovare la parte puramente matematica, possibilmente realizzando progressi nella teoria generale delle PDEs. A seconda del problema in esame, il nostro focus sarà sulla buona positura, sulla regolarità e/o sulle proprietà qualitative delle soluzioni. In molti casi questi problemi sono strettamente correlati tra loro o condividono metodologia, strumenti e approccio.
Punto distintivo del presente progetto è quello di voler consolidare le collaborazioni (già presenti) fra i membri del gruppo, i propri collaboratori esterni, e contribuire alla formazione di giovani ricercatori. In effetti, gli obiettivi del progetto saranno perseguiti insieme a giovani e talentuosi ricercatori (si veda la sezione "Partner esterni") così come a scienziati senior di livello internazionale. Inoltre, molti degli argomenti sono appropriati per programmi di ricerca post-dottorato. Il budget è distribuito di conseguenza: oltre ad acquisizioni standard per forniture di supporto, i fondi sono richiesti esclusivamente per favorire la mobilità dei membri del team al fine di stimolare e favorire collaborazioni nazionali ed internazionali. Parte integrante di questo progetto è la richiesta di attribuzione di un assegno di ricerca per il reclutamento di un giovane ricercatore
Riassumendo, gli obiettivi principali di carattere scientifico sono i seguenti:
Linea A: Esistenza, unicità e regolarità per problemi di tipo 1-laplaciano con termini di ordine inferiore di ordine di ordine zero e di ordine uno possibilmente singolari. Studio di problemi degeneri (p>>1) con termini di ordine inferiore, estensione al caso evolutivo, e ai sistemi.
Linea B: Esistenza per flusso 1-armonico a valori una generica varietà con dati irregolari, caratterizzazione dell'insieme di salto delle soluzioni. Analisi del meccanismo di formazione di shock per equazioni di diffusione con saturazione del flusso per confronto con soluzioni di entropia di leggi di conservazione iperboliche.
Linea C. Esistenza e proprietà qualitative di soluzioni associate ad un problema ellittico semilineare la cui parte principale è di tipo
Laplaciano frazionario, con crescita critica e con associata una condizione di Neumann non locale. Esistenza e molteplicità di soluzioni per
equazioni integro-differenziali (con diffusione frazionaria) a crescita polinomiale nel gradiente. Studio del p-laplaciano frazionario (p>1) nel regime p-->1.
Linea D. Introduzione di un nuovo pairing à la Anzellotti di tipo generalizzato e sue proprietà : Formule di coarea, di Gauss-Green e semicontinuità .
Lo sviluppo di tali linee di ricerca potrebbe portare ad un deciso avanzamento delle conoscenze su tali temi.
L'innovatività e la fattibilità degli obiettivi proposti è testimoniata dall'esperienza in questo settore dei partecipanti al gruppo che può facilmente desumersi dalla bibliografia sotto riportata:
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