Il presente progetto di ricerca riguarda lo studio di strutture algebriche, geometriche e combinatoriche che emergono dalla teoria degli spazi simmetrici.
Dal punto di vista della geometria Riemanniana, tali spazi sono di importanza fondamentale: includono tutte le geometrie classiche, ed hanno legami rilevanti con la teoria dei gruppi di Lie.
In geometria algebrica si studiano complessificazioni di questi spazi, le varietà simmetriche, che hanno un ruolo centrale nella teoria dei gruppi algebrici di trasformazioni, ed in teoria delle rappresentazioni, ad esempio dei gruppi riduttivi reali (corrispondenza di Langlands).
Il progetto riguarda vari aspetti di questa teoria, in primo luogo una generalizzazione al mondo infinito-dimensionale dei gruppi e delle algebre di Kac-Moody. Queste ultime, introdotte indipendentemente da V. Kac e R. Moody negli anni '60, hanno dato origine ad una teoria influente con applicazioni rilevanti, anche nella teoria delle rappresentazioni classica, ed anche in fisica (ad esempio in teoria delle stringhe).
VARIETÀ SIMMETRICHE PER GRUPPI DI KAC-MOODY
Le innovazioni e le potenzialità di una ricerca su varietà simmetriche X per gruppi di Kac-Moody G comprendono i seguenti temi.
1. Lo studio di X come ind-varietà comprenderebbe indagare proprietà geometriche di X ed algebriche del sottoanello di funzioni regolari su X generato dai coefficienti matriciali, e sarebbe alla base di ogni ulteriore sviluppo. È naturale anche indagare il legame con la struttura di "spazio simmetrico Riemanniano generalizzato" data da Köhl et al. su una forma reale di X.
2. Studiare la combinatoria legata al sistema di radici ristretto di X creerebbe nuovi legami fra geometria e combinatoria. Una novità rilevante è che il sistema di radici ristretto di X non soddisfa in generale gli assiomi di un sistema di radici, ed è necessario introdurre una generalizzazione ad-hoc di questo costrutto. Inoltre ammette in alcuni casi radici semplici isotrope (cioè di lunghezza 0): in questi casi non sono definite riflessioni rispetto a tali radici, e il piccolo gruppo di Weyl di X non è definito. Tuttavia, anche in questi esempi, la combinatoria che emerge suggerisce possibili legami profondi con la geometria. Ad esempio, si possono riprodurre costruzioni combinatoriche simili al caso di dimensione finita, che dovrebbero corrispondere ad inclusioni di due sottogruppi simmetrici, e questa corrispondenza è confermata effettivamente in molti esempi.
3. Lo studio di mappe equivarianti del tipo X-> V* o X->P(V*), dove V è un G-modulo (in generale, di dimensione numerabile) tale che il duale V* possiede un vettore fissato dal sottogruppo simmetrico corrispondente a X, fornirebbe uno strumento fondamentale per la costruzione di compattificazioni di X, considerando come nella teoria classica la chiusura dell'immagine. Nel nostro caso tali G-moduli V esistono, ma è necessario sviluppare tecniche nuove per studiare la geometria di tali mappe, dato che il duale V* è uno spazio vettoriale di dimensione potenza del continuo, e non ha una struttura di ind-varietà. Congetturiamo che, sotto ipotesi non molto restrittive su X, esistano G-moduli V irriducibili di peso più alto per cui lo stabilizzatore di un punto è il sottogruppo simmetrico stesso.
4. Una teoria delle compattificazioni anche parziali di X può essere condotta usando le tecniche del punto precedente, o in modo più astratto, in modo simile alla teoria degli embeddings di Luna-Vust, una volta dimostrato un teorema di struttura locale su X. Questo potrebbe portare innovazioni ulteriori, come la possibilità di costruire ad es. il noto monoide di Vinberg per un gruppo di Kac-Moody. La possibilità di definire il sistema di radici ristretto di X rende questo approccio astratto molto promettente: nel caso di dimensione finita, le radici semplici di questo sistema di radici, dette radici sferiche, sono uno strumento combinatorico fondamentale della teoria degli embeddings.
5. Studiare la struttura delle G-orbite delle compattificazioni prodotte, e la possibilità di costruire ad es. compattificazioni analoghe a quelle dette "meravigliose" finito-dimensionali, darebbe il via ad una teoria dei gruppi di Kac-Moody visti come gruppi di trasformazione a tutti gli effetti. È possibile che emergano naturalmente compattificazioni con un'infinità numerabile di G-orbite, mentre nel caso finito-dimensionale il numero di orbite è sempre finito.
6. Studiare la geometria delle orbite su X di un sottogruppo di Borel di G costituirebbe il primo passo di un progetto molto vasto: realizzare un collegamento fra la geometria di X e la teoria delle rappresentazioni di forme reali di G (corrispondenza di Langlands). Ci aspettiamo che tali orbite abbiano codimensione finita in X, e che emergano anche in questa generalità strutture combinatoriche interessanti come un'azione del gruppo di Weyl di G sull'insieme delle orbite, come costruita da Knop nel caso di dimensione finita.
7. Studiare la possibilità di dotare X e sue compattificazioni di struttura di varietà simplettica Hamiltoniana sotto l'azione di gruppi di lacci avrebbe il risultato di riassumere in un unico paradigma le tre teorie: la struttura (di natura geometrico-algebrica) infinito-dimensionale di X, quella (simplettica infinito-dimensionale) delle azioni Hamiltoniane di gruppi di lacci, e quella (simplettica finito-dimensionale) delle varietà quasi Hamiltoniane.
8. Infine, è naturale estendere lo studio della geometria di X al caso di involuzioni qualsiasi di G. In questo campo, ancora del tutto inesplorato, ci aspettiamo difficoltà simili a quelle incontrate nella ricerca sulle varietà delle bandiere semi-infinite.