Il progetto di ricerca riguarda aspetti algebrici, geometrici e combinatori in alcune aree molto attive della ricerca matematica. Il progetto è articolato in diverse componenti che vanno dagli aspetti combinatori di funzioni speciali e polinomi ortogonali, ai grafi e alla coloratura degli spigoli, ai codici lineari derivanti da archi di grassmanniane, nonché lo studio della geometria delle grassmanniane quiver e relazioni con le algebre "cluster".
L¿utilizzo di una base costituita da polinomi ortogonali per studiare le equazioni algebriche con span piccolo e, di conseguenza, interi algebrici, è del tutto innovativa. Ci aspettiamo che il nuovo punto di vista possa aiutare a risolvere problemi rimasti aperti da lungo tempo come un decisivo passo avanti nella classificazione dei polinomi iperbolici con span minore di 4 avviato da Robinson a Berkeley nel 1964. Alcuni promettenti risultati preliminari sono stati compiuti in un lavoro sottomesso di recente.
Lo studio di alcune successioni numeriche, interpretate come momenti di polinomi ortogonali, sembra aprire la strada a nuove interpretazioni combinatorie di alcune funzioni speciali (polinomi di Laguerre) e prefigura anche possibili legami con polinomi cromatici di alcune importanti classi di grafi (Grafi di Turàn). Abbiamo ottenuto dei risultati parziali che pensiamo di poter completare a breve e sviluppare ulteriormente.
L'utilizzo di sottografi e la successiva identificazione topologica di parti del grafo costituiscono l'innovazione in questo campo - come si è già appurato nel caso di grafi 3-critici - e potrebbero
consentire la costruzione di nuovi grafi critici in modo efficace ed economico.
Come già sottolineato, scarseggiano metodi generali per la costruzione di grafi graziosi o non-graziosi. per questa seconda tipologia i polinomi graziosi potrebbero fornire nuovi esempi, come già avvenuto per i gradi minori di 5. Tali polinomi contengono anche informazioni sussidiarie sulla
struttura del grafo.
Il gruppo di Singer si rappresenta agevolmente quando come n-spazio vettoriale sul campo di Galois di ordine q si considera il campo di ordine q^n. Se da un lato la sua rappresentazione così è semplice, dall¿altro la complessità computazionale aumenta quando si vogliono provare alcune proprietà. Il nostro approccio è quello di rappresentare PG(n-1,q) come sottogeometria di PG(n-1,q^n) e studiare la Grassmanniana dei k-sottospazi di PG(n-1,q) come sottovarietà della Grassmanniana di PG(n-1,q^n). Questo approccio geometrico porta una notevole semplificazione nei calcoli ed una chiara visualizzazione dell¿orbita del gruppo di Singer sulla varietà di Grassmann.
Per quanto riguarda le fibrazioni su un semicorpo, come già detto è necessario classificare gli insiemi lineari disgiunti da una certa varietà di PG(2n-1,q^2). Il nostro approccio, che si è dimostrato molto efficace in dimensione 5, è di rappresentare la varietà come join di due varietà isomorfe alla prima così da poter rappresentare l¿insieme lineare come un sottospazio di uno spazio proiettivo, e quindi il problema si riduce a studiare i sottospazi massimali disgiunti da una certa varietà su un campo finito.
Non molto è noto sulla geometria delle Grassmanniane quiver di tipo Dynkin ed affine. Ci sono stati diversi lavori negli ultimi anni, per lo più motivati dai lavori di G. Cerulli Irelli con E. Feigin e M. Reineke. Ci proponiamo di continuare questo studio. In particolari terremo in grande considerazioni le applicazioni ad altre aree della matematica, in particolare combinatoria e varietà di Schubert.