Il progetto di ricerca riguarda aspetti algebrici, geometrici e combinatori in alcune aree molto attive della ricerca matematica. Il progetto è articolato in diverse componenti:
1.Grafi e ipergrafi estremali ottenuti mediante varietà algebriche o più in generale strutture di incidenza su campi finiti.
2. Interazioni tra la teoria delle partizioni di interi e le rappresentazioni di algebre di Lie.
3.Degenerazioni lineari di varietà di bandiera, Grassmanniane quiver, B-orbite nilpotenti per gruppi di Lie classici.
4. Grafi: colorazione degli spigoli e grafi con segno.
5. Single-Source Shortest Path Problem in un grafo non orientato.
6. Applicazione di metodi matematico-statistici nell'analisi di test di ingresso a risposta multipla.
[A] Per quanto riguarda la costruzione di grafi estremali, Pepe conta di usare spazi polari hermitiani su campi finiti e insiemi lineari su un sottocampo di spazi proiettivi finiti. La verità hermitiana non degenere in dimensione 3 è un quadrangolo generalizzato poco noto per chi studia teoria dei grafi e che invece si presta per la costruzione di grafi che possano fornire un nuovo lower bound per il numero di Ramsey. La classificazione di insiemi lineari con ogni punto di peso maggiore di 1 si sta portando avanti tramite un embedding degli spazi in sezioni lineari della varietà di Segre introdotto dalla stessa Pepe.
[B] I metodi sviluppati da M. Primc promettono di ottenere nuove rappresentazioni di algebre di Lie affini. Primc e Meurman sono due leader di livello mondiale.
I risultati ottenuti nella fase iniziale di questa ricerca con Capparelli, Vietri, Del Fra, Mercuri fanno sperare in una prossima accelerazione nella costruzione di nuove identità e nell'interpretazione combinatoria di identità già note.
[C] Le Grassmanniane quiver isotrope sono oggetti che ancora devono essere definiti. Ci aspettiamo che abbiano notevole rilevanza nel futuro. Il nostro progetto è ambizioso ma abbiamo l'esperienza per portarlo a termine.
[D] Nell'ambito dei grafi segnati emerge il concetto di grafo bilanciato. La caratterizzazione classica risale a F. Harary, insieme a una più recente analisi di T. Zaslavski. L'idea di generalizzare il bilanciamento a più sottografi sembra nuova e sufficientemente ricca di spunti per obiettivi a corto termine. Prosegue intanto l'analisi dei grafi critici sulla base dei recenti risultati ottenuti.
[E] Allo stato attuale non sembrano esserci tentativi in questa direzione in ambito internazionale. La possibilità di trovare un numero costante di foreste per la decomposizione è alta data la rigida struttura dei cammini non-crossing e il teorema dei 4 colori.
[F] La tecnologia dell'eye-tracker offre numerosi vantaggi: riduce l'influenza delle aspettative sociali (ad esempio timidezza degli studenti che hanno paura di sbagliare o che temono che il loro metodo risolutivo non sia adeguato), di certe regole percepite e dei contratti didattici durante il processo di raccolta dei dati (comportamento più libero). Inoltre, i dati di eye-tracking sono meno influenzati dai problemi legati alla memoria, all'introspezione, alla riflessione metacognitiva, ai problemi di linguaggio o nella verbalizzazione delle soluzioni trovate, tutti fattori che condizionano, ad esempio, gli studenti che pensano a voce alta. E' inoltre un metodo di indagine molto promettente perché fornisce un accesso dettagliato a ciò a cui gli studenti prestano attenzione e a ciò su cui si concentrano maggiormente durante la risoluzione di un quesito matematico. Permette quindi di ricostruire come le idee nascono ed evolvono. L'eye-tracker può quindi aiutare a cogliere il processo creativo pur nella sua natura instabile, in cui gli studenti confrontano le informazioni, effettuano "salti" in avanti o indietro con i ragionamenti astratti e passano rapidamente da un'idea ad un'altra o cercano approcci alternativi nell'affrontare il problema che è posto loro davanti.