Il presente progetto è volto ad approfondire alcuni aspetti teorici relativi alla ricerca di base sui sistemi dinamici affetti da ritardi. Nel caso di sistemi dinamici in assenza di ritardi, a partire dagli anni '70, si è mostrato come la caratterizzazione delle proprietà geometriche dei sistemi dinamici potesse essere utilizzata in modo efficace per studiare alcune proprietà strutturali dei sistemi e di conseguenza individuare le condizioni per la risoluzione di diversi problemi. Alcuni di questi concetti sono stati, tramite opportuni strumenti, generalizzati recentemente dai membri di questo gruppo di ricerca ai sistemi affetti da ritardi. Tuttavia rimangono ancora poco chiari diversi aspetti di notevole interesse nella ricerca di base, che saranno trattati in questo contesto. In particolare lo studio sarà rivolto ad una maggiore comprensione sull'interpretazione geometrica della parentesi di Lie, alla determinazione delle condizioni per l'esistenza di una realizzazione per sistemi affetti da ritardi ed infine all'utilizzazione di controllori di tipo ibrido, che sfruttino anche il grado di libertà introdotto dal ritardo per riuscire a raggiungere determinate specifiche almeno su certe finestre temporai.
Gli aspetti innovativi del seguente progetto di ricerca riguardano essenzialmente l'utilizzazione di metodologie algebriche e geometriche che fanno riferimento ad una rappresentazione differenziale dei sistemi non lineari affetti da ritardi, per lo studio di proprietà di base,ancora poco comprese, per questa classe di sistemi.
1) Il problema della realizzazione
Il problema della realizzazione di un sistema è un problema di base la cui soluzione riveste un ruolo chiave anche da un punto di vista applicativo. L'associazione di un sistema di equazioni differenziali, infatti, per descrivere il comportamento dinamico del sistema ne permette anche l'implementazione simulativa. Diviene quindi chiaro come nel caso di sistemi affetti da ritardo, il fatto che sia possibile determinare realizzazioni di dimensioni diverse, affette da ritardi di entità diversa, richieda la definizione di criteri per individuare quale sia la realizzazione più conveniente in relazione al problema considerato. Il problema della realizzazione rimane in ogni caso un problema aperto nel caso di sistemi affetti da ritardi ed anche risultati preliminari determinare un notevole passo avanti nella risoluzione del problema.
2) Sistemi ibridi.
L'applicazione delle metodologie introdotte per i sistemi a tempo continuo affetti da ritardo ai sistemi ibridi affetti da ritardo, con particolare riferimento ai sistemi a dati campionati, rappresenta anch'esso un aspetto innovativo. I risultati attualmente disponibili in letteratura riguardano essenzialmente la stabilizzazione dei sistemi campionati, mentre per lo studio delle proprietà geometriche le tecniche di controllo utilizzate vengono progettate facendo riferimento essenzialmente al sistema lineare approssimante. Non sono ancora disponibili tecniche ad hoc che considerino contemporaneamente l'aspetto non lineare, l'aspetto ibrido e l'infinita dimensionalità indotta dal ritardo sul sistema. Anche in questo campo risultati preliminari permetteranno un notevole avanzamento nella teoria.
3) Interpretazione geometrica della parentesi di Lie generalizzata
Partendo dalla parentesi di Lie, ampiamente utilizzata nello studio dei sistemi non lineari per descrivere alcune proprietà strutturali, è stato introdotta in letteratura dai partecipanti a questo progetto la parentesi di Lie generalizzata per poter estendere alcuni concetti ai sistemi non lineari affetti da ritardi.
Nonostante la vasta gamma di applicazioni di tale nuovo strumento principalmente legate a problemi di integrabilità di uno forme, ad oggi non esiste una formale dimostrazione della sua interpretazione geometrica. Ciò è principalmente dovuto al fatto che i sistemi dinamici affetti da ritardi sono sistemi infinito-dimensionali. Scopo di questo studio è anche quello di chiarire ulteriormente le potenzialità della parentesi di Lie generalizzata caratterizzandone le proprietà geometriche.