Nel Calcolo delle Variazioni e nella Teoria Geometrica della Misura si inseriscono tecniche appropriate per lo studio di molti problemi fisici. Da un punto di vista statico configurazioni ad energia minima rappresentano gli stati di equilibrio in molti sistemi rilevanti. Dal punto di vista di evoluzioni, le soluzioni osservate o rappresentano minimi di funzionali azione oppure possono essere ottenute come limite di processi a tempo discreto risolti minimizzando la competizione fra energie interne e dissipazioni del sistema.
Spesso risulta interessante un'analisi multiscala, che permette di analizzare un sistema ad una data scala studiando il suo sviluppo dopo aver rimosso i termini energetici relativi a scale superiori (si parla anche di sviluppi ad ordini successivi). Nei casi più interessanti questa procedura porta alla descrizione di microstrutture, viste come prodotto di fenomeni di rilassamento e omogenenizzazione.
Il presente progetto si propone di approfondire lo studio di modelli variazionali per singolarità topologiche e transizioni di fase. Esempi rilevanti sono: le dislocazioni, difetti di linea nella struttura periodica cristallina che costituiscono il meccanismo microscopico della plasticità nei metalli, e dei vortici nei superconduttori; i 'grain boundaries', cioè frontiere tra grani dei cristalli, difetti di superficie microscopici, legati matematicamente allo studio di partizioni ottimali e formazione di cluster; le fratture in materiali elastici o elastoplastici, difetti di superficie macroscopici che emergono non solo in metalli ma anche in suoli e cementi.
Per tali fenomeni risultano importanti sia analisi multiscala per lo studio statico, sia tecniche per lo studio di evoluzioni.
Altri obiettivi del progetto sono: lo studio di equazioni ellittiche a crescita lineare; l'analisi dell'equazione di Fokker-Planck con mobilità degenere; l'analisi asintotica di energie nonlocali a ordini diversi, con lo studio dei corrispondenti flussi gradiente.
La ricerca sulle dislocazioni potrà trarre vantaggio di alcuni risultati precedenti dei partecipanti, di cui le linee di studio menzionate costituiscono un naturale proseguimento.
Per quanto riguarda i grain boundaries, importanti risultati parziali sono già stati ottenuti sulla comprensione completa di [LL]. Questo costituisce non solo un avanzamento e un notevole risultato di per sé, ma anche un punto di partenza per la giustificazione rigorosa di molti modelli collegati, per cui fino al momento si mancava dei necessari strumenti matematici.
Il sempre crescente interesse per lo studio delle equazioni di tipo Fokker-Planck è dovuto al suo estremo potenziale di applicazione interdisciplinare che va dallo studio delle fluttuazioni di sistemi fisici e biologici ai processi di formazione di opinione tra gli individui [To]. L'equazione di Fokker-Planck con coefficiente di mobilità degenere si applica in particolare allo studio dei processi di formazione di opinione.
Dal punto di vista matematico la mobilità degenere non consente di applicare la teoria classica dei flussi gradiente in spazi metrici [AGS]. Diventa quindi fondamentale sviluppare una teoria matematica per flussi gradiente rispetto a metriche con peso degenere.
Per affrontare i problemi nello studio dei problemi di Dirichlet per l'1-Laplaciano sarà necessario sviluppare nuovi metodi per l'analisi dei campi vettoriali a divergenza misura, che sono di grande importanza di per sé anche a prescindere dalle applicazioni alle leggi di conservazione e ai flussi di Cauchy. Si ritiene che qualsiasi avanzamento, anche parziale, possa essere di grande interesse per la comunità di riferimento.
Nello studio di evoluzioni guidate da operatori non locali, e dei loro limiti locali,
casi limite di evoluzioni frazionarie sono state considerate solo sporadicamente in letteratura. In particolare, il caso s tendente a zero risulta al momento poco investigato: in tal caso è noto che l'energia, opportunamente riscalata, converge al quadrato della norma L^2, il cui corrispondente flusso e' banale. Usando tecniche variazionali è possibile sviluppare l'energia all'ordine successivo, ottenendo un'energia rinormalizzata nuova e non banale.
Il corrispondente flusso parabolico coinvolge un nuovo operatore ellittico che può essere interpretato come uno zero-laplaciano.
Inoltre, le tecniche variazionali sembrano solide e adatte a trattare operatori non locali più generali, possibilmente anisotropi e non omogenei. Questo sembra dare un vantaggio rispetto a tecniche più incentrate sullo studio di PDE, che risultano talvolta troppo dipendenti dal singolo operatore.
I progetti considerati sono da un lato legati a contributi precedenti dei partecipanti, il più delle volte esperti del settore riconosciuti dalla comunità di riferimento. Questo costituisce di per sé un elemento di rafforzamento delle potenzialità dei progetti. D'altra parte, i problemi che si intende studiare sono spesso molto innovativi e potenzialmente interessanti in altri contesti.