Fenomeni fisici, come l'Effetto Hall Quantistico Frazionario, realizzati con sistemi di particelle confinate in regioni di spazio quasi bidimensionali, trovano negli anyoni un modello matematico soddisfacente. Gli Anyoni sono particelle previste solo in 2 dimensioni che obbediscono ad una statistica frazionaria, ovvero, una statistica intermedia tra quella bosonica e fermionica. Quando due particelle compiono un giro completo l'una attorno all'altra, la funzione d'onda complessiva acquista una fase non banale, cioè un numero complesso di modulo 1 diverso da + o - 1. La buona positura e l'autoaggiuntezza per Hamiltoniane di anyoni interagenti costituiscono problemi attualmente aperti. Ci concentreremo sul caso di due soli anyoni non interagenti, che può essere ridotto al caso di una sola particella. L'obiettivo è quello di scrivere le forme quadratiche associate agli operatori autoaggiunti che estendono l'operatore simmetrico di partenza e dimostrarne la chiusura e limitatezza dal basso. Una volta mostrato che queste sono le forme associate agli operatori ci proponiamo di generalizzare i risultati al caso interagente e/o in presenza di trappola, ricavando le condizioni per la chiusura e lmitatezza dal basso delle nuove forme.
L'approccio delle forme quadratiche, sebbene presente in [DFT97], viene utilizzato solo per l'estensione di Friedrichs. Quindi la prima parte innovativa del lavoro è la scrittura di forme quadratiche limitate dal basso, ma non necessariamente positive, che descrivono tutte quante le estensioni autoaggiunte delle Hamiltoniane simmetriche definite su funzioni regolari. Questo rappresenta un passo importante perché può rivelare come l'evoluzione "libera" (tramite laplaciano magnetico) e l'azione a zero-range delle interazioni puntuali si combinino nel dominio delle estensioni. Quindi, inizialmente studieremo il caso di due anyoni non interagenti e le relative forme. A questo punto, passeremo al caso con potenziale. Una volta dimostrata la chiusura e la limitatezza dal basso anche delle forme con potenziale (di interazione o trappola), ci proporremo di ricavare gli operatori autoaggiunti corrispondenti.