Il progetto è una continuazione di precedenti con medesimo titolo. Nell'anno passato ha visto confluire in esso personale strutturato prima aderente al progetto "Identità polinomiali e metodi combinatori in strutture algebriche e geometriche" che, per affinità di competenze ed interessi di ricerca, naturalmente si colloca nella cornice entro cui si sviluppa la presente proposta. Si è aggiunto inoltre Corrado De Concini, che ha già partecipato a diverse edizioni precedenti, in qualità di Professore Emerito.
Saranno trattati argomenti diversificati, tutti centrali nella ricerca matematica di base e pertinenti ai campi dell'Algebra, della Geometria Riemanniana e Complessa, della Topologia, della Combinatoria (sia algebrica che enumerativa) e dell'Informatica Teorica, che spaziano dalla Teoria delle Rappresentazioni, con enfasi sulla teoria infinito-dimensionale e su quella di Lie e l'utilizzo delle rappresentazioni del gruppo simmetrico nello studio delle algebre soddisfacenti un'identità polinomiale, ad argomenti più analitici e topologici, per completarsi con aspetti combinatorici e di informatica teorica, comunque collegati a tecniche di tipo sostanzialmente algebrico. Nel dettaglio le tematiche studiate, coerenti con quelle dei progetti precedenti delle quali costituiscono un raffinamento ed approfondimento, saranno le seguenti:
1) Varietà di algebre PI con strutture addizionali;
2) Unitarietà delle rappresentazioni di W-algebre minimali;
3) Algebre di Hopf combinatorie;
4) Linguaggi formali e di Lie;
5) Olonomie quaternionali kähleriane, G_2 e Spin(7);
6) Spettro del Laplaciano su alberi semi-omogenei.
1) Varietà di algebre PI con addizionali strutture: Le tecniche sviluppate potrebbero portare alla generalizzazione dei risultati ottenuti per varietà affini a quelle non-necessariamente finitamente generate. Inoltre conducono naturalmente verso lo studio del Problema di Isomorfismo nella Teoria PI per classi di algebre non-semisemplici, ovvero capire se esse sono determinate dalle corrispondenti identità. Infine, la soluzione dell'analogo della Congettura diHartley sarebbe determinante per lo studio di algebre gruppali di gruppi di torsione il cui sottogruppo degli unitari soddisfa speciali identità gruppali (per esempio, risolubilità o condizioni di Engel).
2) Unitarietà delle rappresentazioni di W-algebre minimali: Il concreto avanzamento, in termini di conoscenza, di una classificazione delle W-algebre minimali unitarie sarebbe nel rendere uniformi e rigorosi alcuni risultati dovuti a fisici (Miki Eguchi-Taormina) per le algebre superconformi N=3 e N=4. Chiaramente la questione ha un notevole interesse intrinseco. L'esplicitazione di formule del determinante per quozienti di moduli di Verma già di per se' potrebbe costituire un risultato interessante.
3) Algebre di Hopf combinatorie: Le nozioni di shuffle algebra non-commutativa, operad, cooperad e pre-algebra di Lie giocano un ruolo fondamentale. Utilizzando questo background tecnico e le nuove intuizioni che può offrire la teoria sulle probabilità libere, alcune domande a cui si vorrà rispondere sono le seguenti:
- Qual è il quadro generale che sta alla base delle algebre Hopf di incidenza, delle algebre Hopf tipo Faà di Bruno (su alberi planari) e delle partizioni non intersecanti?
- Qual è il significato del complemento di Kreweras nell'approccio con le probabilità libere alla "unshuffle Hopf algebra"?
- Esplorare l'algebra di Hopf unshuffle delle partizioni non intersecanti dal punto di vista delle algebre Hopf combinatorie.
- Esiste un legame tra l'approccio dell'algebra di Hopf (co)shuffle e le algebre di Hopf di Mastnak-Nica nella probabilità libera (ricordiamo che queste ultime sono generalizzazioni di funzioni simmetriche)?
4) Linguaggi formali e di Lie: Un aspetto innovativo in tale ambito é basato sulla connessione tra le tematiche di ricerca sui linguaggi formali, già precedentemente menzionate, ed alcune tra quelle proprie della Combinatoria Algebrica. Essa rende possibile l'utilizzo di strumenti teorici mutuati dalla Combinatoria enumerativa sui poliedri, dalla Teoria delle funzioni di partizione, e dall'Algebra delle Box-Splines. Questo dovrebbe consentire un avanzamento delle conoscenze relativamente a quelle famiglie di linguaggi, più generali dei linguaggi algebrici, rispetto alle quali, a nostra conoscenza, non sono noti risultati significativi.
5) Olonomie quaternionali kähleriane, G_2 e Spin(7): Un confronto tra le forme differenziali generatici delle coomologie degli spazi simmetrici eccezionali di tipo compatto promette di essere un aspetto significativo in varie questioni, come lo studio degli spazi dei twistors e di altre fibrazioni, nonché delle loro proprietà di curvatura, anche nell'ambito di in un diagramma già stabilito in casi particolari.
6) Spettro del Laplaciano su alberi semi-omogenei: Poco si sa di questo argomento su alberi semi-omogenei, anche in considerazione della mancanza di transitività degli automorfismi e dell'assenza di qualsiasi tipo di prodotto di convoluzione. Gli strumenti e gli approcci introdotti nella presente parte del progetto per superare questa difficoltà possono eventualmente far luce su questioni simili anche in ambienti non discreti, com'è accaduto più volte considerando gli alberi come analoghi discreti di varietà a curvatura negativa.