Il progetto è una continuazione di precedenti con medesimi titolo, responsabile e personale strutturato. Saranno trattati temi diversificati, tutti centrali nella ricerca matematica di base e pertinenti ai campi dell'algebra, della geometria algebrica e complessa, della topologia, della combinatoria (sia algebrica sia enumerativa) e dell'informatica teorica, che spaziano dalla teoria delle rappresentazioni, con enfasi sulla teoria infinito-dimensionale e su quella di Lie, ad argomenti più analitici e topologici, per completarsi con aspetti combinatori e di informatica teorica, comunque collegati a tecniche di tipo sostanzialmente algebrico. Nel dettaglio le tematiche studiate, coerenti con quelle dei progetti precedenti delle quali costituiscono un raffinamento e approfondimento, saranno le seguenti:
1) Rappresentazioni small ed elementi armonici;
2) Embedding conformi e metodi finito-dimensionali;
3) Sottoalgebre commutative in algebre di Lie Z2-graduate e orbite sferiche;
4) Pictures tra insiemi parzialmente ordinati e algebre di Hopf combinatorie;
5) Funzioni di partizione e linguaggi formali;
6) Analisi armonica su spazi discreti;
7) Modelli meravigliosi di complementari di arrangiamenti torici.
Rappresentazioni small ed elementi armonici
La congettura di Reeder è aperta da molti anni. Sono apparse varianti di tale congettura e sarebbe un risultato assai rilevante dare contributi su questi argomenti.
Embedding conformi e metodi finito-dimensionali
È importante capire fino a che punto i metodi finito-dimensionali determinino la struttura degli embedding conformi. Sembra interessante approfondire le relazioni con la teoria delle coppie di Lie: nei lavori di Kostant tale teoria è prodromica a quella dell'operatore di Dirac cubico, che finora ha giocato un ruolo limitato nell'ambito degli embedding conformi. Ci proponiamo di approfondire questo aspetto.
Sottoalgebre commutative in algebre di Lie Z2-graduate e orbite sferiche
Il lavoro "Spherical nilpotent orbits and abelian subalgebras in isotropy representations" (J. Gandini, P. Möseneder-Frajria, P. Papi), J. Lond. Math. Soc. (2) 95, 323-352 (2017), stabilisce una connessione tra la teoria delle orbite nilpotenti e quello delle algebre affini. Sembra in prospettiva interessante insistere sull'uso di queste tecniche.
Pictures tra insiemi parzialmente ordinati e algebre di Hopf combinatorie
A oggi, il punto di vista generale dei "double quasi-posets" non è ancora stato studiato. Grazie all'esistenza di elementi equivalenti per i preordini, la nozione di immagini (le "pictures" di Zelevinsky) risulta molto più flessibile di quella analoga negli ordini. Si potrà introdurre un concetto generale di "pattern" delle classi di immagini a meno di isomorfismo, col quale riprodurre in generale una biiezione nota tra parole "piene" e coppie di tableaux semistandard della stessa forma. Questa interpretazione permetterà di generalizzare il teorema fondamentale di Zelevinsky per le immagini (ovvero l'interpretazione tramite "immagini" della corrispondenza di Robinson-Schensted classica tra permutazioni e coppie di tableaux standard della stessa forma). Il passaggio chiave che si vuole ottenere è quello che porta dalla teoria classica sulle biiezioni (la combinatoria delle permutazioni) a una teoria combinatoria generale sulle suriezioni (che sono rappresentate come parole piene, le "packed words").
Funzioni di partizione e linguaggi formali
Lo studio dell'andamento asintotico delle funzioni di conteggio dei linguaggi formali fornisce informazioni sulla struttura algebrica e combinatoria di questi oggetti. In particolare, nel caso dei linguaggi context-free di crescita polinomiale, è possibile ottenere una descrizione esatta di queste funzioni in termini di funzioni quasi polinomiali a pezzi. Un aspetto innovativo di questa ricerca è legata alla connessione tra le funzioni di partizione di vettori e le predette funzioni di conteggio. Tale connessione rende possibile l'utilizzo, in questo studio, di potenti strumenti teorici mutuati dalla teoria delle funzioni di partizione, dall'algebra delle box-splines e dalla combinatoria enumerativa sui politopi. Un altro aspetto innovativo di questa ricerca è legato all'intenzione di svolgere questo studio per famiglie più generali di quella dei linguaggi context-free rispetto alle quali, a nostra conoscenza, non si conoscono ancora risultati significativi.
Analisi armonica su spazi discreti
Già limitandosi al rango 1, la ricerca sistematica degli oggetti classici da trasformata di Radon su alberi omogenei e semiomogenei sugli spigoli, e in parte quella sui vertici, è una novità interessante in sé, che può portare frutti nell'analisi armonica classica (trasformata di Fourier, operatore di Laplace, nucleo di Poisson, eccetera) e può guidare la successiva ricerca in rango maggiore.
Modelli meravigliosi di complementari di arrangiamenti torici
Un algoritmo per la costruzione di un modello torico meraviglioso è stato recentemente introdotto da De Concini-Gaiffi. Un'altra costruzione è stata indipendentemente introdotta da Khovanskii e collaboratori. Al momento non è del tutto chiaro quali siano i collegamenti fra i due approcci. Inoltre per quanto riguarda i modelli alla De Concini-Gaiffi non sono ancora stati calcolati molti degli invarianti topologici collegati. Un progetto in via di sviluppo è calcolare la cosmologia di tali modelli dandone applicazioni allo studio dell'omotopia razionale e della teoria di Hodge dei complementari di sottotori.
Alcuni anni fa sono stati costruite delle varietà proiettive che contengono il complementare in uno spazio affine di una collezione finita di sottospazi affini come insieme aperto denso il cui complementare (bordo) è un divisore a incroci normali e componenti irriducibili lisce. Nel caso si parta da un toro algebrico e da una famiglia finita di sottospazi, il problema è più difficile per una serie di motivi.