Il progetto è una continuazione di precedenti con medesimi titolo, responsabile e personale strutturato. Saranno trattati temi diversificati, tutti centrali nella ricerca matematica di base e pertinenti ai campi dell'algebra, della geometria algebrica e complessa, della topologia, della combinatoria (sia algebrica sia enumerativa) e dell'informatica teorica, che spaziano dalla teoria delle rappresentazioni, con enfasi sulla teoria infinito-dimensionale e su quella di Lie, ad argomenti più analitici e topologici, per completarsi con aspetti combinatorici e di informatica teorica, comunque collegati a tecniche di tipo sostanzialmente algebrico. Nel dettaglio le tematiche studiate, coerenti con quelle dei progetti precedenti delle quali costituiscono un raffinamento e approfondimento, saranno le seguenti:
1) Struttura di Lie su covarianti dell'algebra esterna;
2) Embedding conformi in algebre di vertice associate a superalgebre di Lie;
3) Elementi primitivi in algebre di tableaux;
4) Funzioni di partizione e linguaggi formali;
5) Geometria integrale e analisi armonica su alberi ed edifici;
6) Modelli meravigliosi di complementari di arrangiamenti torici.
Struttura di Lie su covarianti dell'algebra esterna
Il problema è stato già affrontato anche in precedenti progetti con risultati parziali. Si trarrà vantaggio dal recente lavoro [DP] in cui sono sviluppate tecniche che, unite probabilmente all'uso della base piatta per generatori degli invarianti rispetto al gruppo di Weyl, potranno portare a una soluzione del problema.
[DP] C. De Concini, P. Papi, "On some modules of covariants for a reflection group", Trans. Moscow Math. Soc. 78 (2017), 257¿273.
Embedding conformi in algebre di vertice associate a superalgebre di Lie
La soluzione del problema di classificazione proposto è particolarmente importante perché legato ad algebre di vertice che appaiono assai frequentemente in teoria conforme dei campi e sono legati alle algebre superconformi.
Elementi primitivi in algebre di tableaux
Si vuol esplorare un cambiamento di base opportuno all'interno della bialgebra delle tabelle di Young di Poirier-Reutenauer, utilizzando uno degli ordini descritti da Taskin, che permetta di calcolare l'antipodo dell'algebra delle tabelle. Il risultato atteso è quello del calcolo dell'antipodo, cosa che non è stata finora affrontata in letteratura. Seguendo la metodologia di Aguiar-Sottile (da loro applicata nell'ambito dell'algebra di Hopf delle permutazioni), intendiamo esaminare la nozione di discesa globale di una tabella di Young. Questo dovrebbe permettere di trovare gli elementi primitivi di tale bialgebra, e pure il suo antipodo. Questo progetto, in fase esplorativa, sarà accompagnato dalla ricerca di alcune derivazioni della bialgebra delle tabelle. Un approccio promettente sarebbe quello di prolungare l'aspetto algebrico, fornito da Poirier e Reutenauer, al noto algoritmo di evacuazione, definito da Schützenberger come applicabile alle tabelle di Young.
Funzioni di partizione e linguaggi formali
Lo studio dell'andamento asintotico delle funzioni di conteggio dei linguaggi formali fornisce informazioni sulla struttura di questi oggetti. In particolare, nel caso dei linguaggi algebrici di crescita polinomiale, è possibile ottenere una descrizione esatta di queste funzioni in termini di funzioni quasi polinomiali a pezzi. Un aspetto innovativo di questa ricerca è legata alla connessione tra le funzioni di partizione di vettori e le predette funzioni di conteggio. Tale connessione rende possibile l'utilizzo, in questo studio, di potenti strumenti teorici mutuati dalla teoria delle funzioni di partizione, dall'algebra delle box-spline, e dalla combinatoria enumerativa sui politopi. Un altro aspetto innovativo di questa ricerca è legato all'intenzione di svolgere questo studio per famiglie più generali di quella dei linguaggi algebrici rispetto alle quali, a nostra conoscenza, non sono ancora noti risultati significativi.
Geometria integrale e analisi armonica su alberi ed edifici
Già limitandosi al rango 1, la ricerca sistematica degli oggetti classici da trasformata di Radon su alberi omogenei e semiomogenei sugli spigoli, e in parte quella sui vertici, è una novità interessante in sé, che può portare frutti nell'analisi armonica classica (trasformata di Fourier, operatore di Laplace, nucleo di Poisson, eccetera) e può guidare la successiva ricerca in rango maggiore.
Modelli meravigliosi di complementari di arrangiamenti torici
Un risultato che costituirebbe un notevole progresso sarebbe quello di ottenere una presentazione dell'anello di coomologia per generatori e relazioni.