Obiettivi della ricerca sono la costruzione di modelli probabilistici e statistici matematici per lo studio di passeggiate aleatorie in presenza di ostacoli e campi aleatori sulla sfera, governati da equazioni stocastiche a derivate parziali di ordine frazionario. In tali processi possono essere coinvolte delle variabili latenti e dunque l¿identificabilità del modello statistico deve essere studiata. I processi che emergono nel caso di campi sulla sfera sono atti a rappresentare dati non omogenei o anomali. Lo scopo è di fornire delle caratterizzazioni spazio temporali dei campi in termini di espansioni wavelet.
Tale studio è motivato da modelli legati alla ricostruzione di immagini biomediche.
Dal punto di vista applicativo, nelle analisi che ci proponiamo di affrontare, i processi allo studio sono adatti a rappresentare la diversa natura delle variabili di interesse e del rumore nei sui molteplici aspetti presente nei dati. Un¿analisi dell¿identificabilita¿, seppur importante, non risulta ancora presente in letteratura per la modellistica descritta e questo consentirebbe anche di spiegare possibili anomalie e instabilita¿ dei modelli. Inoltre la discriminare sulla natura dell'errore presente nelle osservazioni contribuisce a determinare modelli che meglio descrivono i dati nel senso che meglio permettono di identificare e quindi eliminare le componenti di rumore. Dal punto di vista teorico, il primo aspetto innovativo di interesse è legato ai problemi di caratterizzazione dell¿identificabilita¿, dell¿estensione di passeggiate sulla sfera con ostacoli riflettenti aleatori. I processi considerati possono avere comportamenti diversi sul bordo di certi sottoinsiemi della sfera, appunto legati alle condizioni di trasmissione. E' noto come rappresentare dei moti irregolari (o anomali) su una regione, ad esempio su un sottoinsieme aperto della sfera. Si deve introdurre un tempo aleatorio che modifica le traiettorie del processo in quella specifica regione (o sottoinsieme dello spazio degli stati del processo). Il problema che ci proponiamo di affrontare comporta una serie di difficoltà tecniche: se il bordo è visto come una membrana semipermeabile ad esempio, si deve introdurre una riflessione (normale) sui punti del bordo e la definizione di derivata normale vale per quasi tutti i punti tranne un insieme trascurabile, questo è il caso in cui il bordo non sia sufficientemente liscio, ad esempio Lipschitziano. Il moto di una particella descritto da una diffusione anomala può essere assimilato ad una analisi di tipo macroscopico, l'osservatore percepisce delle anomalie nel moto (rallentamenti o accelerazioni
improvvise) e associa tale comportamento esclusivamente al processo. Volendo passare ad una analisi microscopica, l'osservatore potrebbe associare il moto irregolare della particella non al processo ma al mezzo nel quale avviene il moto (in alcuni casi potremmo parlare del mezzo in cui avviene la diffusione), il processo quindi è irregolare ma si sta muovendo in una regione irregolare (ad esempio un pre-frattale o un frattale, cioè una regione con bordo non liscio). Il processo (la particella) è disturbata nel suo movimento dalla struttura irregolare del mezzo, una causa esogena e non endogena come poteva essere un moto anomalo introdotto dal processo stesso. Tali poblematiche teoriche verranno applicate in ambito biomedico. La caratterizzazione in termini di wavelet puo¿ rappresentare un serio problema nel gestire le condizioni di trasmissione o di cambio di tempi. Da un punto di vista matematico si tratterà quindi di rappresentare su opportuni spazi di Besov le soluzioni quadrato integrabili di equazioni stocastiche non locali.
D'altra parte, modelli di autoregressione sferica rappresentano ad oggi un legame cruciale che connette campi aleatori spaziali e serie temporali. In particolare, la corrispondenza diretta tra parametri autoregressivi e funzione di covarianza può essere usata per stabilire esplicitamente la funzione di autocorrelazione e, quindi, per identificare frequenze mancanti nella decomposizione armonica così come regioni mascherate in ambito wavelet.
Tecniche di penalizzazione del tipo ridge o LASSO sono ad oggi tra i metodi più in voga in statistica, in virtù della loro capacità di ottenere una buona risoluzione per oggetti sparsi. Tecniche di questo tipo sviluppate sulla sfera saranno cruciali per lo studio di campioni di dati dall'alta numerosità ma con un alto numero di coefficienti armonici o wavelet nulli.
Infine, prendendo in considerazione processi di Poisson, rimuovere la condizione di separabilità tra componenti spazio-temporali permette di estendere consistentemente l'ambito di applicazione di questo strumento. Infatti, in questo caso, è possibile considerare fenomeni stocastici per i quali i coefficienti armonici o wavelet dipendono direttamente dal tempo, garantendo così la ricostruzione di campi spazio-temporali misurati sopra un numero di punti di campionamento aleatorio che cambia col tempo.