La trasformata wavelet è una trasformata integrale che ha rivestito, negli ultimi anni, una importanza sempre crescente nelle applicazioni. La trasformata wavelet consiste nella convoluzione del segnale in analisi f(t) con un kernel detto wavelet che può essere traslato e dilatato mediante due parametri, detti di posizione e di scala. Molti dei vantaggi di questa trasformata risiedono nella intrinseca ridondanza della rappresentazione wavelet di un segnale f(t). Questa ridondanza è molto utile nelle applicazioni ma diversi risultati fanno pensare che possa essere ridotta, di fatto compattando l¿informazione contenuta nella trasformata e riducendo la dimensione del dato da processare, riducendo il costo computazionale. Nelle applicazioni è di rilevanza centrale determinare i coefficienti della trasformata più rappresentativi del segnale in ingresso e questa è legata alla regolarità di Lipschitz del segnale f(t) in analisi. Per stimare questa regolarità si computa la trasformata wavelet di f(t) e a partire da quella si ottengono delle stime. Noi stiamo investigando invece nuovi metodi diretti che legano l¿informazione contenuta nella trasformata wavelet di f(t) con la regolarità di f(t) stessa. Il principale obiettivo della nostra ricerca è quello di definire una trasformata wavelet il cui parametro di scala dipenda dal tempo, selezionando per ogni istante temporale la scala migliore (ovvero selezionare per ogni istante il giusto supporto per il kernel della trasformata) per rappresentare il segnale in ingresso f(t) e fornire risultati sull¿applicabilità e l¿invertibilità di una tale trasformata. Successivamente abbiamo intenzione di fornirne un¿implementazione numerica, investigando i relativi problemi di stabilità numerica e costo computazionale. Questo progetto di ricerca è la diretta continuazione della mia tesi di laurea magistrale, durante la quale sono stato seguito dalla Dott.ssa V. Bruni (SBAI Sapienza/IAC-CNR) e dal Dott. D. Vitulano (IAC-CNR).
La nostra ricerca si presenta come fortemente innovativa. Ad oggi non siamo a conoscenza di metodi diretti per la stima della regolarità di Lipschitz. Poter conoscere direttamente la regolarità di Lipschitz di un segnale f(t) permetterebbe di migliorare notevolmente molte tecniche basate sulla trasformata wavelet. Molte delle tecniche di riduzione del rumore, per esempio, si basano su un procedimento di sogliatura dei coefficienti della trasformata wavelet, ma la scelta della soglia migliore è un problema aperto. In pratica esistono diversi criteri di decisione ma nessuno di questi tiene conto delle caratteristiche di regolarità del segnale da processare. Trovando una relazione diretta per stimare la regolarità a priori (quindi senza eseguire la trasformata wavelet) è possibile migliorare la scelta di questi coefficienti.
Nel metodo di decomposizione atomica ideato da Vitulano, Bruni e Piccoli, la conoscenza della regolarità del segnale in analisi è fondamentale. Attualmente questa viene stimata attraverso il computo di una trasformata wavelet non decimata (più costosa della trasformata wavelet discreta comunemente utilizzata), e questo passo potrebbe essere evitato riducendo il costo computazionale totale.
Inoltre l¿obiettivo finale della ricerca, ovvero la definizione di una trasformata wavelet il cui parametro di scala dipenda dal tempo, è assolutamente innovativo, in quanto al momento non esiste alcuna trasformata che, modificando opportunamente il supporto del kernel, si adatti al segnale in analisi, selezionando così un numero di coefficienti molto minore rispetto ad una trasformata wavelet ma comunque sufficienti ad approssimare bene il segnale. Questo porterebbe miglioramenti in numerose tecniche di trattamento dei segnali. Per esempio, una tale trasformata è in grado di selezionare automaticamente i coefficienti più rappresentativi della trasformata wavelet di un segnale rumoroso, e quindi rende possibile effettuare una rimozione del rumore automaticamente, poiché i coefficienti più rappresentativi del segnale saranno quelli in cui il rumore ha meno influenza.