Questo progetto è articolato su piú linee di ricerca con lo scopo di meglio comprendere alcuni aspetti fondamentali delle transizioni di fase del prim'ordine in presenza di disordine o quantistiche.
In particolare cercheremo di capire come la Random First Order Transition (RFOT) si modifichi uscendo dal regime di campo medio e andando in un regime in cui i fenomeni attivati diventano importanti nella dinamica di rilassamento.
Intendiamo studiare l'origine di tali fenomeni attivati, andando a misurare sia le barriere energetiche che quelle entropiche in modelli prototipo per la RFOT.
Data l'importanza della RFOT in problemi diversi dalla fisica, come i problemi di ottimizzazione e di inferenza statistica, ci prefiggiamo anche di caratterizzare meglio il comportamento di un'ampia ed importante classe di algoritmi basati su metodi di tipo Monte Carlo (ad es. Simulated Annealing e Parallel Tempering) qualora vengano usati come algoritmi di ricerca di soluzioni in presenza di RFOT.
Sebbene tutti gli aspetti studiati in questo progetto siano molto teorici e discussi all'interno di modelli prototipo estremamente semplificati, riteniamo che la loro comprensione possa avere anche importanti ricadute pratiche, come ad esempio lo sviluppo di algoritmi di ottimizzazione ed inferenza di vasta applicabilità.
Per quanto riguarda lo studio delle transizioni quantistiche del prim'ordine non è ancora chiaro lo scenario universale che le determina e una maggiore comprensione di questo fenomeno avrebbe chiarissime ripercussioni in applicazioni pratiche, quali ad esempio la computazione quantistica.
Le diverse linee di ricerca che intendiamo portare avanti con il presente progetto sono tutte di primaria importanza per la comprensione della transizioni di fase del prim'ordine con disordine o quantistiche. Cerchiamo nel seguito di illustrare brevemente quali potrebbero essere i risultati raggiungibili e la loro rilevanza.
Arrivare ad avere un modello che permetta di passare in modo continuo al variare di un unico parametro da un modello di campo medio con RFOT ad un modello fuori da campo medio sarebbe realmente innovativo (ad oggi non esiste nessun modello di questo tipo). Aprirebbe la strada ad una serie di nuovi studi che oggi non possono essere fatti per mancanza di un modello adatto. In particolare permetterebbe di capire come cambia la natura della transizione e come i fenomeni di dinamica attivata entrino in gioco.
Lo studio delle barriere energetiche ed entropiche in modelli con RFOT è di primaria importanza per poter migliorare gli unici modelli risolubili per la dinamica in sistemi disordinati ad oggi noti: i modelli a trappole o Trap Model (TM). In questi modelli vengono considerate le barriere energetiche, ma non quelle entropiche che invece potrebbero ricoprire un ruolo molto importante. Riuscire a misurare entrambe le barriere permetterebbe di migliorare i TM e vedere se questi riescano a descrivere meglio la dinamica in modelli vetrosi realistici dove i fenomeni dinamici attivati sono presenti.
La comprensione del comportamento degli algoritmi Monte Carlo avanzati nei problemi di ottimizzazione e di inferenza Bayesiana sarebbe un passo fondamentale verso una piú completa teoria della complessità computazionale. Infatti ad oggi non si è ancora ben capito quali siano i limiti di applicazione di tale classe di algoritmi in problemi in cui la 'hard phase' (ossia il range di snr dove la soluzione esiste, ma non riesce ad essere trovata in tempi polinomiali nella taglia del problema) è dovuta alla presenza di una RFOT.
Data la versatilità dei metodi Monte Carlo, riuscirne a capire il range di applicazione in problemi duri di ottimizzazione ed inferenza Bayesiana avrebbe immediate ricadute nelle applicazioni e a medio termine potrebbe stimolare lo sviluppo di una teoria analitica per questo tipo di dinamiche di ricerca di soluzioni (oggi del tutto assente a causa del fatto che non è chiaro quali siano i limiti pratici di questi algoritmi).
Nelle transizioni di fase quantistiche del primo ordine, il teorema dimostrato in [OP] permette di concludere che quando e_cond(g) ed e_norm(g) hanno un punto di intersezione il sistema ha una QPT del primo ordine. Un ulteriore progresso sarebbe capire sotto quali condizioni si può verificare tale intersezione. La risposta
ovviamente non può essere del tutto generale e bisognerà procedere per
classi di sistemi.
Una sfida assai impegnativa sarà inoltre la verifica dell'estendibilità del meccanismo di condensazione ai sistemi con interazione a lungo range. Una particolare QPT del primo ordine molto discussa nella letteratura fisica è la cosiddetta cristallizzazione di Wigner. Riteniamo che tale QPT sia riconducibile a una QPT della classe da noi introdotta, e che, addirittura, si possano avere due transizioni, quella tra liquido di Fermi e cristallo di Wigner e quella tra cristallo di Wigner e reticolo generalizzato di Wigner, semplicemente invertendo il ruolo degli operatori K e V, cioè nei due diversi spazi degli autostati di K e V. Gran parte dell'analisi richiederà tecniche numeriche di tipo Monte Carlo. Contiamo di poter utilizzare dei codici Monte Carlo come si dice unbiased basati su una rappresentazione probabilistica esatta [OP2]. Sara interessante considerare anche sistemi con impurezze per discutere il ruolo del disordine nella localizzazione nello spazio degli stati.