Ricerc@Sapienza

Tutti gli obiettivi presenti in questo progetto rappresentano problemi aperti e di interesse generale in ambito internazionale. La costruzione di sistemi di wavelet in grado di fornire una rappresentazione ottimale della struttura di un problema è un tema in costante evoluzione. In generale, i metodi tradizionali (si pensi ad esempio all'analisi armonica) non sono in grado di descrivere opportunamente le proprietà locali di una funzione in un unico spazio di approssimazione o, quantomeno, con un costo computazionale ridotto. Le trasformate wavelet possono invece fornire rappresentazioni compatte di funzioni sia nello spazio/tempo, sia nella frequenza. In un certo senso, la costruzione di wavelet che siano caratterizzate da determinate proprietà garantisce flessibilità ed un¿alta capacità di adattamento sia rispetto ad una certa classe di problemi, sia rispetto ad uno specifico insieme di dati o di misurazioni sperimentali. Di conseguenza, la costruzione di nuovi sistemi di funzioni wavelet in grado di identificare e di rappresentare le componenti significative di una certa funzione (sia essa un segnale o un campo aleatorio) con pochi coefficienti non nulli e che sia in grado di caratterizzarne la struttura di eventuali dipendenze stocastiche, ad un prezzo in termini di tempo di calcolo e di memoria molto basso, è un argomento di ricerca di vasto interesse e di grande prospettiva. Ad oggi, quindi, la costruzione di famiglie di wavelet caratterizzate da proprietà di concentrazione stabilite dallo sperimentatore ed in grado di adattarsi alla struttura dei dati considerati, rappresenta una strategia vincente per costruire metodi numerici efficienti e per selezionare elementi rilevanti caratterizzanti un certo problema, si pensi ad esempio a schemi di codifica, retrieval o estrazione di caratteristiche ottenuti mediante elaborazioni semplici e non costose dei dati, favorendo il loro uso in applicazioni real-time anche su dispositivi portatili. Dal punto di vista applicativo, le trasformate wavelet multiscala di tipo adattivo possono rivelarsi cruciali anche in applicazioni che prevedono acquisizioni multisensoriali. Infatti, l'uso crescente di acquisizioni di dati basate su multisensori e l¿innovazione tecnologica che comporta una crescita incontrollata delle dimensioni dei campioni studiati necessitano dello sviluppo di metodi alternativi in grado di integrare le informazioni presenti all¿interno di masse giganti di dati. Si pensi, in particolare, ai metodi di fusione nel contesto dell'analisi delle immagini: oggi sono un tema centrale nell¿ambito di sorveglianza, difesa, beni culturali, robotica, telerilevamento, imaging medico o biometrico, e molti altri ambiti. Lo scopo della fusione delle immagini è quello di combinare le diverse informazioni che vengono acquisite da sensori distinti in una singola immagine, con il fine di aumentare o enfatizzarne il contenuto informativo visivo per supportare analisi e decisioni successive o immediate (si pensi ad applicazioni di sorveglianza in condizioni critiche - basso contrasto, scarsa luminosità, acquisizione notturna, ecc. - o per l'identificazione di camouflages o ostacoli). In questo ambito, l'uso di sistemi di basi multiscala lineari e non lineari è fondamentale, in virtù della possibilità di usare un unico strumento per rilevare caratteristiche locali sia nel dominio dello spazio che in quello della frequenza (identificazione del contenuto significativo) e integrarle mediante un¿opportuna inversione della trasformata. Alla stessa maniera, le nuove needlet di tipo shrinking descrivono uno strumento ideale per trattare problemi statistici caratterizzati da sparsitá dei dati per i quali risulta necessario rendere più compatte le informazioni contenute nei dati. Tali costruzioni possono inoltre essere facilmente usate per studiare localmente oggetti definiti su varietà più generali, che localmente si comportano come tori d-dimensionali. Altre applicazioni prevedono l¿uso di tali sistemi di wavelet in combinazioni di dati caratterizzati da un¿alta sparsità, in combinazione con metodi di stima nonlineari (si pensi, ad esempio, a procedure di thresholding o LASSO).