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Lo scopo del lavoro proposto è di raggiungere una più ampia comprensione delle proprietà della connessione di Bismut. In particolare, ci prefiggiamo di analizzare i problemi classici di curvatura scalare costante e prescritta ed Hermitian Einstein. La ricerca quindi si articola in due fasi distinte. Da un lato, vogliamo capire quali restrizioni sulla geometria della varietà siano implicate dalle condizioni sopracitate; parallelamente, vorremmo costruire esempi espliciti di strutture Hermitiane che soddisfino tali condizioni.
Siamo già riusciti ad utilizzare le tecniche di risoluzione del problema di Yamabe associato alla connessione di Chern per tutte le connessioni di Gauduchon, risolvendo (dipendentemente dal grado di Gauduchon) il "Bismut-Yamabe-problem". Si vuole ora proseguire con il problema più generale di curvatura scalare di Bismut prescritta.
Per quanto riguarda il problema di Bismut Hermitian Einstein, invece, abbiamo ottenuto risultati interessanti attraverso il suo studio su fibrati torici, costruendo esempi espliciti di strutture Hermitiane Ricci Bismut piatte sulle varietà di Calabi-Eckmann. Vorremmo ora generalizzare la costruzione che ha portato a questi esempi, dato che sembra adattarsi ad un contesto più ampio. Inoltre, siamo anche interessati ad estendere le formule di summersione di O'Neil alle curvature delle connessioni di Gauduchon. Queste formule, oltre ad essere interessanti di per sé, potranno essere usate per trovare altri esempi espliciti di metriche Bismut Hermitian Einstein.
In ultimo, sappiamo che la connessione di Bismut presenta vari legami con il pluriclosed flow di Streets e Tian. Ad esempio, le metriche Bismut Hermitian Einstein, di cui sopra, rappresentano punti statici di tale flusso. Noi vorremmo approfondire l'interazione tra di esso ed una nozione di positività associata alla connessione di Bismut che abbiamo introdotto. Abbiamo, infatti, già studiato tale legame in alcuni casi espliciti con risultati interessanti.