Ricerc@Sapienza

Il progetto si propone di indagare le interazioni tra alcune classi eccezionali di oggetti geometrici e la teoria delle rappresentazioni.

La classificazione delle varietà rappresenta uno dei problemi principali nella geometria. Le varietà di Fano si collocano tra gli oggetti più studiati. Sebbene sia noto come il loro numero debba essere limitato in ogni dimensione fissata, la loro classificazione in dimensione superiore a tre è attualmente insoluta. Un modo di produrre larghe classi di esempi di varietà di Fano è considerarle come sottovarietà di varietà omogenee della forma G/P, per G un gruppo algebrico lineare e P un sottogruppo parabolico. A partire dalla combinatoria di tali varietà ambiente si produrranno nuovi esempi, lavorando al contempo a risultati di classificazione. Inoltre, tramite l'uso di strumenti di teoria delle rappresentazioni, ci dedicheremo allo studio sistematico della teoria di Hodge di tali varietà. Infine useremo queste informazioni come ponte per produrre esempi di varietà con struttura hyperkaehler e Calabi-Yau, importanti nella geometria algebrica, riemanniana e nella teoria delle stringhe.

Il progetto si focalizzerà principalmente sugli argomenti seguenti:

--la classificazione sistematica delle varietà di Fano in dimensione 4 ottenibili a partire da varietà razionali omogenee a partire da fibrati omogenei;
--Varietà sferiche e congettura di Stanley
--Varietà sferiche ed embeddings per gruppi non riduttivi
--lo studio di strutture di Poisson (e pre-Poisson) su varietà di Fano;
--la ricerca di varietà di Fano in dimensione alta con struttura di Hodge eccezionale (e.g. con proprietà simplettiche o di Calabi-Yau);
--la realizzazione di modelli geometrici di varietà di tipo hyperkaehler come spazi di moduli di fasci stabili su tali varietà, o ancora come spazi di moduli di oggetti stabili nelle componenti interessanti delle loro categorie derivate.
--complessi geometro-differenziali nel contesto di varietà conformemente simplettiche.