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L'analisi geometrica su varietà differenziali e su spazi singolari è una branca fondamentale della geometria differenziale che ha permesso enormi progressi in molti campi, dalla topologia delle varietà alla geometria riemanniana, allo studio dei gruppi di Lie e dei loro sottogruppi discreti.
Il suo carattere multidisciplinare è ben illustrato dai contributi che in essa confluiscono da molte discipline, quali l'analisi funzionale e la fisica matematica.
Per esempio, la geometria spettrale studia le relazioni tra lo spettro di vari operatori differenziali e la struttura geometrica della varietà; la teoria dell'indice li mette in relazione con invarianti topologici fondamentali quali la segnatura e la coomologia; e la teoria della convergenza produce omeomorfismi o diffeomorfismi tra varietà dalla conoscenza della prossimità di tali invarianti.
Nel progetto, si affrontano temi centrali e tra loro interconnessi di analisi geometrica, in particolare:

Progetto 1: lo studio della struttura infinitesimale e asintotica di spazi CAT(k), "packed" o a entropia limitata: si tratta di una vasta classe di spazi, eventualmente singolari, nella quale rientrano varietà a curvatura limitata, spazi stratificati a geometria limitata, CW-complessi ecc.;

Progetto 2: la teoria della convergenza secondo Gromov-Hausdorff per spazi CAT(k);

Progetto 3: stime degli autovalori di operatori differenziali (in particolare, del Laplaciano con campo magnetico) su domini del piano e superfici di Riemann;

Progetto 4: la variazione prima del funzionale "heat content" e della traccia del nucleo del calore, con possibile classificazione delle varietà critiche;

Progetto 5: la coomologia degli spazi stratificati, in particolare una generalizzazione del teorema di isomorfismo di Dodziuk tra i moduli di coomologia singolare, di Hodge e di de Rham in tali spazi;

Progetto 6: la teoria dell'indice su quozienti simplettici singolari nell'ambito della quantizzazione geometrica e riduzione simplettica.