Il progetto riguarda la costruzione di metodi di approssimazione in spazi wavelet associati a spazi multirisoluzione generati da funzioni raffinabili frazionarie. Un esempio tipico di queste funzioni è costituito dalle B-spline frazionarie, introdotte da Unser e Blu, che generalizzano al caso di esponente non intero le ben note B-spline polinomiali. Le funzioni raffinabili frazionarie generano spazi wavelet frazionari che hanno proprietà di approssimazione particolarmente utili per la costruzione di metodi numerici accurati e efficienti sia nell'elaborazione di segnali e immagini che nella soluzione numerica di problemi differenziali. Ad esempio, la trasformata wavelet frazionaria è stata utilizzata con successo per il denoising di segnali, per l'interpolazione di segnali e immagini, per l'estrazione di contorni. D'altro canto, le derivate sia ordinarie che frazionarie di una funzione raffinabile frazionaria e della relativa wavelet possono essere approssimate con una formula chiusa alle differenze finite. Questo fa sì che le wavelet frazionarie possono essere utilizzate in modo semplice in tutti quei metodi di approssimazione in cui è richiesto approssimare le derivate di una funzione, per esempio i metodi di tipo Petrov-Galerkin per la soluzione numerica di problemi differenziali oppure i metodi per l'estrazione di caratteristiche geometriche di un'immagine.
In particolare, il presente progetto ha due obiettivi principali. Il primo è quello di utilizzare le flessibilità della trasformata wavelet frazionaria per costruire metodi di denoising che abbiano migliori proprietà di compressione rispetto ai metodi che si basano sulla trasformata wavelet ordinaria. Il secondo obiettivo è quello di utilizzare le wavelet frazionarie per costruire metodi numerici efficienti per la soluzione di problemi differenziali frazionari.
