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Gli oggetti di studio del mio progetto sono le equazioni alle derivate parziali di tipo ellittico in domini limitati con condizioni al contorno di Dirichlet omogenee. Più precisamente siamo interessati a due classi di problemi:
A) equazioni che hanno come modello il seguente:
-div(|Du|^{p-2}Du)=H(u)f,
ovvero come operatore principale il p-Laplaciano e come termine di ordine inferiore H(u)f dove f è una funzione irregolare sommabile o una misura positiva e limitata e H è una funzione continua che esplode in 0. Dunque il problema è singolare poichè avendo condizioni di Dirichlet omogenee sul bordo del dominio sicuramente la soluzione u deve tendere a 0 vicino al bordo e il dato H(u)f esplode. Ciò a cui siamo interessati è studiare esistenza, regolarità e possibile unicità della soluzione.
B)sistemi ellittici che hanno come modello sistemi di equazioni di Schrödinger-Maxwell, ovvero
-div(|Du|^{p-2}Du)+Av|u|^{r-2}u=f
-div(|Dv|^{p-2}Dv)=|u|^{r},
dove A è un numero reale positivo, r un numero reale strettamente maggiore di 1 e f una funzione irregolare. Dalla teoria classica sotto opportune ipotesi si hanno soluzioni per le singole equazioni. Ciò a cui siamo interessati è trovare una soluzione (u,v) del sistema e vedere se l'interazione tra le due equazioni genera un effetto regoralizzante per tale soluzione.